Ich beschäftige mich gerade auch mit Aussprache-Themen, zwar eher im Türkischen, aber Phonetik ist Phonetik – da gibt es einige Gemeinsamkeiten was die Lernmethodik betrifft.
Was beim 'ø' wirklich hilft: Das Lautbild verstehen statt nur imitieren. Das 'ø' im Dänischen ist ein gerundeter Vorderzungenvokal, ähnlich dem deutschen 'ö', aber die Lippenrundung ist im Dänischen oft etwas ausgeprägter und der Kiefer steht dabei leicht offener. Ein konkreter Übungsansatz: Spreche zunächst ein langes deutsches 'e' (wie in 'See'), dann runde dabei langsam die Lippen, ohne die Zungenposition zu verändern. Was rauskommt, ist ziemlich nah am 'ø'.
Für deinen Augusturlaub in Jütland würde ich sagen: Übe vor allem die Wörter, die du wirklich brauchst – Ortsbezeichnungen, Wegbeschreibungen, einfache Floskeln. Die meisten dänischen Muttersprachler reagieren auf ehrliche Lernversuche sehr wohlwollend, auch wenn die Aussprache nicht perfekt ist.
Ich hab mich vor nem Jahr intensiv mit Französisch beschäftigt (da gibt es ja ähnliche gerundete Vorderzungenvokale wie 'eu' und 'u') und da hab ich genau dieselbe Frage gestellt. Was mir wirklich geholfen hat: Aufnahmen von sich selbst machen und vergleichen. Klingt banal, aber man hört sich beim Sprechen selbst komplett anders als auf einer Aufnahme. Ich hab mein Handy einfach hingestellt, das Originalwort abgespielt, direkt nachgesprochen, und dann beides verglichen. Nach ein paar Tagen hört man die Unterschiede viel klarer.
Fürs Dänische würd ich dasselbe machen. Einfach Wörter mit 'ø' suchen (Forvo wurde ja schon genannt, sehr gut der Tipp), aufnehmen, vergleichen, korrigieren. Das muss man nicht stundenlang machen – 10 Minuten täglich reichen völlig. Und für nen Sommerurlaub kommste damit bestimmt weit genug.